Funcion Cuadratica y Ecuaciones de segundo grado

Una función cuadrática tiene como expresion generica a f(x) como se muestar arriba y su nombre se debe a que la variable X esta elevado al cuadrado, donde a, b y c son números reales y ''a'' tiene que ser distinto de cero (sino no tendria el termino cuadratico que da el nombre a esta función).
La expresión de arriba recibe el nombre de forma polinómica de la funcion cuadrática, veamos algunas de las propiedades y ejemplos.

Raíces de una función cuadrática:
Cuando tenemos una expresión como arriba estamos en presencia de una ecuacion cuadratica y lo que estamos buscando son el/los valores que hacen verdadera esa igualdad para lograr esto aplico la siguiente formula:
Esta formula nos da dos valores, X1 es una de sus raices y se calcula con el signo +, mientras que X2 es la segunda raiz y se calcula con el signo menos. Cabe aclarar que estos valores de X1 y X2 no tienen porque ser siempre disitintos sino que pueden ser iguales y eso depende del valor del discriminante que esta explicado mas adelante.
Ejemplo1:
Hay muchos ejercicios donde tenemos una expresion como la anterior y es ahi donde podemos aplicar la formulas para averiguar las raices.

Ejemplo 2:
Como vemos en este ejercicio no siempre se debe aplicar de forma directa la formula ya que como dijimos para poder hacerlo necesitamos tener expresado como se explica arriba y ademas tiene que estar igualado a cero, es por eso que en este caso necesitamos hacer unos calculos previos hasta llegar a la forma para aplicarlo.

Vertice de la Parabola de Segundo Grado:
V=(Xv;Yv)
siendo V el vertice, vamos a hallar las coordenadas osea Xv e Yv.
 
Como podemos ver el Yv se puede calcular de dos formas, con la formula que aparece o evaluando nuestra funcion f(x) en el valor de Xv, veamos un ejemplo de aplicacion.
Ejemplo1:
calcular el vertice de la siguiente funcion



Imagen de la funcion cuadratica:
Cuando nos piden que demos la imagen de la funcion cuadratica nos va a ser muy util saber cual es el vertice, ya que esta nos da informacion de nuestra imagen, supongamos que tenemos esta funcion y queremos hallar su imagen. Lo primero que tengo que hacer es calcular su vertice.


Lo que tenemos que saber es que la imagen son los valores que devuelve la funcion, como podemos ver en la grafica los valores que devuelve la funcion van desde menos infinito hasta el Yv, de esta forma podemos dar la imagen de la siguiente forma.

Forma de expresar a una función cuadrática:
Aunque ya vimos la forma polinomica que tiene la funcion cuadratica cabe aclarar que no es la unica forma en la que podemos encotrarla, veamos cuales son.
En funcion de sus raíces (factorizada):

 donde X1 y X2 son las raices de esta funcion cuadratica y ''a'' el coeficiente de su forma polinomica.
En funcion de las Coordenadas del Vertice (canónica):

Donde Xv e Yv son las componentes del Vertice, donde V=(Xv;Yv)
Discriminante:
este termino que se encuentra dentro de la raiz se la llama discriminante y los que nos permite saber es lo siguiente:

1) si el discriminante es = 0 entonces obtengo una raiz real doble (X1=X2)
2) si el discriminante es > 0 obtengo raices reales distintas (X1 distinta de X2)
3) si el discriminante es < 0 obtengo raices complejas donde una de ellas es conjugada de la otra.

como podemos ver aca se presentan los tres casos del discriminante:
el grafico verde nos muestra el caso en que el discriminante es igual a cero
el grafico azul tiene un discminante distinto de cero por eso nos da dos raices reales y distintas.
el grafico rojo tiene un discriminante menor a cero por eso sus raices son complejas y podemos obeservar que en este caso la grafica no corta al eje X.

Otra observacion muy importante que debemos hacer es que en el caso del grafico verde y rojo la curva es como una ''U'' y en la grafica azul es como una ''U'' pero dada vuelta, esto es muy facil saber antes de graficar nuestra funcion ya que si ''a'' es mayor a 0 sera como una ''U'' encambio si ''a'' es menor a 0 sera como una ''U'' invertida.
si verificamos en el caso del grafico rojo tenemos que a=3 y como es mayor a cero su grafica es como una ''U'' lo mismo en el caso del grafico verde ya que tenemos a=2 que tambien es mayor a cero.